حل تمرین صفحه 86 ریاضی هفتم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هفتم صفحه 86 - تمرین 1 این تمرین به شما نشان می‌دهد که چگونه مفهوم **توان** به طور طبیعی در محاسبات هندسی مانند **مساحت** و **حجم** ظاهر می‌شود. در واقع، توان $۲$ بیانگر مساحت (ضرب دو بُعد) و توان $۳$ بیانگر حجم (ضرب سه بُعد) است. ### ۱. مربع * **شکل:** مربع به ضلع $a$ * **فرمول مساحت:** مساحت مربع = ضلع $\times$ ضلع * **عبارت جبری توان‌دار:** $$S = a \times a = a^۲$$ ### ۲. دایره * **شکل:** دایره به شعاع $r$ * **فرمول مساحت:** مساحت دایره $= \pi \times \text{شعاع} \times \text{شعاع}$. (که در کتاب $\pi \approx ۳/۱۴$ در نظر گرفته شده است.) * **عبارت جبری توان‌دار:** $$S = ۳/۱۴ \times r \times r = ۳/۱۴ r^۲$$ ### ۳. مکعب * **شکل:** مکعب به ضلع $a$ * **فرمول حجم:** حجم مکعب = طول $\times$ عرض $\times$ ارتفاع * **عبارت جبری توان‌دار:** $$V = a \times a \times a = a^۳$$ ### ۴. مکعب مستطیل * **شکل:** مکعب مستطیل به ابعاد $a, a, b$ * **فرمول حجم:** حجم مکعب مستطیل = طول $\times$ عرض $\times$ ارتفاع * **عبارت جبری توان‌دار:** در این مکعب مستطیل دو بُعد برابر ($a$) و یک بُعد متفاوت ($b$) است. $$V = a \times a \times b = a^۲ b$$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هفتم صفحه 86 - تمرین 2 این تمرین به شما کمک می‌کند تا مفاهیم و قوانین پایه‌ای **اعداد توان‌دار** را به زبان ریاضی و **عبارت جبری** بیان کنید. در ریاضیات، به جای نوشتن جملات طولانی، از نمادها و متغیرها استفاده می‌کنیم. ### قوانین توان 1. **هر عدد به توان یک، برابر خودش می‌شود:** این قانون بیان می‌کند که اگر توان هر عددی (مثلاً $a$) برابر با $۱$ باشد، حاصل همان عدد است. در تصویر، نمونه‌ای از این عبارت ($a^۱ = a$) نوشته شده است. $$a^۱ = a$$ 2. **یک به توان هر عدد، برابر یک می‌شود:** اگر پایه عدد $۱$ باشد و توان آن هر عدد دلخواه (مثلاً $n$)، حاصل همیشه $۱$ است، زیرا $۱$ هر چند بار در خودش ضرب شود، همان $۱$ باقی می‌ماند. $$۱^n = ۱$$ 3. **مجذور هر عدد، یعنی آن عدد به توان ۲:** **مجذور** همان توان $۲$ است. اگر عدد دلخواه را $a$ در نظر بگیریم، مجذور آن به صورت زیر نشان داده می‌شود: $$\text{مجذور } a = a^۲$$ 4. **مکعب یک عدد، یعنی آن عدد به توان ۳:** **مکعب** همان توان $۳$ است. اگر عدد دلخواه را $x$ در نظر بگیریم، مکعب آن به صورت زیر نشان داده می‌شود: $$\text{مکعب } x = x^۳$$ 5. **صفر به توان هر عدد جز صفر، برابر است با:** اگر پایه $۰$ باشد و توان آن یک عدد طبیعی غیر صفر (مثلاً $n$ که $n \neq ۰$)، حاصل همیشه $۰$ است، زیرا $۰$ هر چند بار در خودش ضرب شود، همان $۰$ می‌شود. $$۰^n = ۰ \text{ (به شرط } n \neq ۰)$$ (توجه: حالت $۰^۰$ در ریاضیات تعریف نشده یا مبهم است، به همین دلیل در صورت سوال قید شده است: **جز صفر**.)

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هفتم صفحه 86 - تمرین 3 این تمرین مفهوم **مکعب یک عدد** یا **توان ۳** را به صورت هندسی نشان می‌دهد. حجم هر مکعب بزرگ از ضرب ابعاد آن (طول $\times$ عرض $\times$ ارتفاع) به دست می‌آید. چون این اشکال **مکعب** هستند، طول، عرض و ارتفاع آن‌ها با هم برابر است. تعداد مکعب‌های کوچک $۱ \times ۱ \times ۱$ برابر با حجم کل مکعب بزرگ است. ### تحلیل مکعب‌ها 1. **مکعب صورتی/قرمز (سمت چپ):** * ابعاد (تعداد مکعب‌های کوچک در هر ضلع): $۲ \times ۲ \times ۲$ * تعداد کل مکعب‌های کوچک (حجم): $۲ \times ۲ \times ۲ = ۸$ * نمایش توان‌دار: $۲^۳$ 2. **مکعب آبی (وسط):** * ابعاد: $۳ \times ۳ \times ۳$ * تعداد کل مکعب‌های کوچک (حجم): $۳ \times ۳ \times ۳ = ۲۷$ * نمایش توان‌دار: $۳^۳$ 3. **مکعب سبز (راست):** * ابعاد: $۴ \times ۴ \times ۴$ * تعداد کل مکعب‌های کوچک (حجم): $۴ \times ۴ \times ۴ = ۶۴$ * نمایش توان‌دار: $۴^۳$ ### مکعب $n$ تایی اگر مکعبی داشته باشیم که هر ضلع آن شامل $n$ عدد مکعب کوچک باشد، تعداد کل مکعب‌های کوچک از ضرب طول، عرض و ارتفاع آن (هر سه برابر با $n$) به دست می‌آید: $$\text{مکعب } n \text{ تایی} = n \times n \times n = n^۳$$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هفتم صفحه 86 - تمرین 4 در این تمرین، باید با محاسبه توان‌های مختلف، مهارت خود را در ضرب تکراری بالا ببرید. به یاد داشته باشید که **توان** به ما می‌گوید پایه چند بار باید در خودش ضرب شود. ### محاسبه توان‌های اعداد صحیح | عبارت | محاسبه | حاصل | | :---: | :---: | :---: | | $۳^۲$ | $۳ \times ۳$ | $۹$ | | $۴^۲$ | $۴ \times ۴$ | $۱۶$ | | $۵^۲$ | $۵ \times ۵$ | $۲۵$ | | $۶^۲$ | $۶ \times ۶$ | $۳۶$ | | $۷^۲$ | $۷ \times ۷$ | $۴۹$ | | $۸^۲$ | $۸ \times ۸$ | $۶۴$ | | $۹^۲$ | $۹ \times ۹$ | $۸۱$ | | $۱۰^۲$ | $۱۰ \times ۱۰$ | $۱۰۰$ | | $۱۱^۲$ | $۱۱ \times ۱۱$ | $۱۲۱$ | | $۱۲^۲$ | $۱۲ \times ۱۲$ | $۱۴۴$ | ### محاسبه مجذور و مکعب کلامی * **مجذور دو:** یعنی $۲^۲ = ۴$ * **مجذور یک:** یعنی $۱^۲ = ۱$ * **مکعب دو:** یعنی $۲^۳ = ۲ \times ۲ \times ۲ = ۸$ * **مکعب یک:** یعنی $۱^۳ = ۱ \times ۱ \times ۱ = ۱$ ### محاسبه عبارات کسری و اعشاری 1. $$\frac{۲^۳}{۵^۲} = \frac{۲ \times ۲ \times ۲}{۵ \times ۵} = \frac{۸}{۲۵}$$ (برای تقسیم، ابتدا صورت و مخرج را جداگانه محاسبه می‌کنیم.) 2. $$\left(\frac{۳}{۴}\right)^۳ = \frac{۳^۳}{۴^۳} = \frac{۳ \times ۳ \times ۳}{۴ \times ۴ \times ۴} = \frac{۲۷}{۶۴}$$ (توان هم به صورت و هم به مخرج اثر می‌کند.) 3. $$\frac{۲^۴}{۷} = \frac{۲ \times ۲ \times ۲ \times ۲}{۷} = \frac{۱۶}{۷}$$ (فقط صورت توان دارد.) 4. $$۰/۲^۳ = ۰/۲ \times ۰/۲ \times ۰/۲ = ۰/۰۰۸$$ (سه رقم اعشار) 5. $$۰/۰۱^۲ = ۰/۰۱ \times ۰/۰۱ = ۰/۰۰۰۱$$ (چهار رقم اعشار) 6. $$۱/۲^۲ = ۱/۲ \times ۱/۲ = ۱/۴۴$$ (دو رقم اعشار) 7. $$۲/۲^۲ = ۲/۲ \times ۲/۲ = ۴/۸۴$$ (دو رقم اعشار) 8. $$۰/۵^۲ = ۰/۵ \times ۰/۵ = ۰/۲۵$$ (دو رقم اعشار)

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هفتم صفحه 86 - تمرین 5 این تمرین به شما نشان می‌دهد که چگونه با تغییر **نما (توان)** در یک **پایه ثابت** ($۳$)، مقدار عدد به سرعت افزایش می‌یابد. **توان** $n$ به ما می‌گوید که عدد پایه $۳$ باید چند بار در خودش ضرب شود. ### تکمیل جدول 1. **برای $n=۱$:** $$۳^۱ = ۳ \text{ (هر عدد به توان یک برابر خودش است)}$$ 2. **برای $n=۲$:** $$۳^۲ = ۳ \times ۳ = ۹$$ 3. **برای $n=۳$:** $$۳^۳ = ۳ \times ۳ \times ۳ = ۹ \times ۳ = ۲۷$$ 4. **برای $n=۴$:** $$۳^۴ = ۳ \times ۳ \times ۳ \times ۳ = ۲۷ \times ۳ = ۸۱$$ | $n$ | ۱ | ۲ | ۳ | ۴ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $۳^n$ | $۳^۱ = ۳$ | $۳^۲ = ۹$ | $۳^۳ = ۲۷$ | $۳^۴ = ۸۱$ |

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هفتم صفحه 86 - تمرین 6 این تمرین به شما کمک می‌کند تا مفهوم **رشد نمایی** (Exponentional Growth) را با رسم نمودار درک کنید و ببینید که چگونه با افزایش اندک توان، عدد حاصل به سرعت بزرگ می‌شود. ### ۱. محاسبه حاصل توان‌ها | عبارت | محاسبه | حاصل | | :---: | :---: | :---: | | $۲^۱$ | $۲$ | $۲$ | | $۲^۲$ | $۲ \times ۲$ | $۴$ | | $۲^۳$ | $۲ \times ۲ \times ۲$ | $۸$ | | $۲^۴$ | $۲ \times ۲ \times ۲ \times ۲$ | $۱۶$ | | $۲^۵$ | $۲ \times ۲ \times ۲ \times ۲ \times ۲$ | $۳۲$ | ### ۲. رسم نمودار ستونی و توضیح شیوه رسم برای رسم نمودار ستونی، شما به دو محور نیاز دارید: * **محور افقی ($x$):** این محور برای نمایش **توان ($n$)** استفاده می‌شود ($۱, ۲, ۳, ۴, ۵$). * **محور عمودی ($y$):** این محور برای نمایش **مقدار حاصل ($۲^n$)** استفاده می‌شود ($۲, ۴, ۸, ۱۶, ۳۲$). **انتخاب واحد مناسب:** بزرگترین عدد روی محور عمودی $۳۲$ است. اگر کاغذ شما ۲۰ خط داشته باشد، بهتر است هر خط را ۲ واحد در نظر بگیرید تا بتوانید تا ۴۰ واحد را رسم کنید. (مثلاً خط پنجم ۱۰، خط دهم ۲۰، خط پانزدهم ۳۰ و خط بیستم ۴۰). **شیوه رسم هر ستون:** برای هر توان ($n$) روی محور افقی، یک ستون رسم می‌کنید که ارتفاع آن دقیقاً برابر با حاصل آن توان روی محور عمودی است (مثلاً برای $۲^۵=۳۲$، ستون باید تا عدد $۳۲$ بالا برود). ### ۳. آیا می‌توانید $۲^{۱۰}$ یا $۲^{۲۰}$ را در دفتر خود رسم کنید؟ چرا؟ **محاسبه $۲^{۱۰}$ و $۲^{۲۰}$:** * $۲^{۱۰} = ۱,۰۲۴$ * $۲^{۲۰} = ۱,۰۴۸,۵۷۶$ **پاسخ:** **خیر**، رسم $۲^{۱۰}$ یا $۲^{۲۰}$ در دفتر عادی **بسیار سخت** یا **غیرممکن** است. **دلیل:** همانطور که می‌بینید، اعداد به سرعت بزرگ می‌شوند. $۲^{۱۰}$ برابر با $۱,۰۲۴$ و $۲^{۲۰}$ بیش از یک میلیون است. رسم ستونی به ارتفاع $۱,۰۲۴$ یا $۱,۰۴۸,۵۷۶$ در یک دفتر معمولی که معمولاً فقط چند ده واحد را پوشش می‌دهد، امکان‌پذیر نیست. این نشان‌دهنده **رشد سریع اعداد توان‌دار** است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هفتم صفحه 86 - تمرین 7 برای تخمین تعداد ارقام عدد بزرگ $۱۱^{۱۳}$، باید از اعدادی استفاده کنیم که محاسبه آن‌ها ساده‌تر است، به خصوص **توان‌های عدد ۱۰**. **قانون تعداد ارقام:** هر عدد $۱۰^n$ (مانند $۱۰^۲=۱۰۰$ یا $۱۰^۳=۱۰۰۰$)، دقیقاً $n+۱$ رقم دارد. ### گام‌های تخمین 1. **حد بالا:** عدد $۱۱$ از عدد $۱۰$ بزرگتر است. پس $۱۱^{۱۳}$ حتماً از $۱۰^{۱۳}$ بزرگتر است. $$۱۱^{۱۳} > ۱۰^{۱۳}$$ عدد $۱۰^{۱۳}$ برابر است با $۱$ و سیزده تا صفر، که در کل **۱۴ رقم** دارد. پس $۱۱^{۱۳}$ حداقل ۱۴ رقم دارد. 2. **حد پایین:** حالا باید ببینیم $۱۱^{۱۳}$ از چه توان ۱۰ بزرگتری کوچک‌تر است. * اگر $۱۱^{۱۳}$ از $۱۰^{۱۴}$ بزرگتر باشد، ۱۵ رقمی است. 3. **محاسبه تقریبی:** برای اینکه بدانیم $۱۱^{۱۳}$ از $۱۰^{۱۴}$ کوچک‌تر است یا نه، می‌توانیم از ماشین حساب استفاده کنیم یا از تقریب‌های لگاریتمی (که در دوره متوسطه اول تدریس نمی‌شود) استفاده کنیم. اما برای یک پاسخ آموزشی ساده: * $۱۱^{۱۳} = ۱۱ \times ۱۱^{۱۲}$ * ما می‌دانیم $۱۰^۲ = ۱۰۰$ و $۱۱^۲ = ۱۲۱$. یعنی ۱۱ تقریباً ۱.۲ برابر ۱۰ است. * تقریب $۱۱^{۱۳}$ به صورت: $۱۱^{۱۳} \approx (۱.۱۰)^{۱۳} \times ۱۰^{۱۳}$ **نتیجه‌گیری نهایی (بدون نیاز به محاسبات پیچیده):** * $۱۰^{۱۳}$ یک عدد **۱۴ رقمی** است ($۱$ و ۱۳ صفر). * $۱۰^{۱۴}$ یک عدد **۱۵ رقمی** است ($۱$ و ۱۴ صفر). مقدار دقیق $۱۱^{۱۳}$ برابر است با $۳,۴۵۲,۲۷۱,۲۱۴,۳۹۳$. (سه تریلیون و ...) این عدد **۱۴ رقم** دارد. **توضیح چرا ۱۴ رقمی است؟** چون $۱۱^{۱۳}$ از $۱۰^{۱۳}$ بزرگتر و از $۱۰^{۱۴}$ کوچک‌تر است: $$۱۰^{۱۳} < ۱۱^{۱۳} < ۱۰^{۱۴}$$ * بزرگترین عدد **۱۳ رقمی** $۹,۹۹۹,۹۹۹,۹۹۹,۹۹۹$ است. * کوچکترین عدد **۱۴ رقمی** $۱۰,۰۰۰,۰۰۰,۰۰۰,۰۰۰ = ۱۰^{۱۳}$ است. چون حاصل $۱۱^{۱۳}$ کمی از $۱۰^{۱۳}$ بزرگتر است (حدود ۳.۴ برابر)، اما همچنان به $۱۰^{۱۴}$ نرسیده است، این عدد در محدوده اعداد ۱۴ رقمی قرار می‌گیرد.